小学时候我们就学过圆的面积公式S=πR²，其中S是圆的面积，π是圆周率，R是圆的半径。大家还记得这个公式是怎么得到的吗？
一. 圆的面积公式
首先，我们画一个圆，这个圆的半径为R，周长为C。我们知道，圆的周长与直径的比定义为圆周率，因此C=2πR，这个公式就是圆周率的定义，是不需要推导的。
然后，我们把圆分割成许多个小扇形，就好像一个比萨饼分割成了很多小块。
我们把这些扇形比萨饼一正一反的拼在一起，这样就形成了一个接近于长方形的图形。
可以想象，如果圆分割的越细，拼好的图形就越接近长方形。如果圆分割成无限多份，那么拼起来就是一个严格的长方形了。而且，这个长方形的面积与圆的面积是相等的。我们要求圆的面积，只需要求出这个长方形的面积就可以了。
显然，这个长方形的宽就是圆的半径R，而长方形的长是圆周长的一半1/2C=πR，根据长方形的面积公式“长方形面积=长乘宽”，我们得到圆的面积公式：
其实，这个推导过程很简单，那就是先无限分割，再把这无限多份求和。分割就是微分，求和就是积分，这就是微积分的基本思想。
二. 牛顿与莱布尼茨之争
大家知道微积分是谁发明的方法吗？
从古希腊时代开始，数学家们就已经利用微积分的思想处理问题了。比如阿基米德、刘徽等人，在处理与圆相关问题时都用到了这种思想，但是那时微积分还没有成为一种理论体系。直到十七世纪，由于物理学中求解运动——天文、航海等问题越来越多，对微积分的需求变得越来越迫切。于是，英国著名数学家、物理学家牛顿和德国哲学家、数学家莱布尼茨分别发明了微积分。
1665年，牛顿从剑桥大学毕业，当时他22岁。他本来应该留校工作，但是英国突然爆发瘟疫，学校关闭了。牛顿只好回到家乡躲避瘟疫。在随后的两年里，牛顿遇到了他的苹果，发明了流数法、发现了色散，并提出了万有引力定律。
牛顿所谓的流数法，就是我们所说的微积分。但是牛顿当时并没有把它看得太重要，只是把它作为一种很小的数学工具，是自己研究物理问题时的副产品，所以并不急于把这种方法公之于众。
十年之后，莱布尼茨了解到牛顿的数学工作，与牛顿进行了短暂的通信。在1684年，莱布尼茨作为微积分发明第一人，连续发表了两篇论文，正式提出了微积分的思想，这比牛顿提出的流数法几乎晚了20年。但是在论文中，莱布尼茨对他与牛顿之间通信的事只字未提。
牛顿愤怒了。作为欧洲科学界的学术权威，牛顿通过英国皇家科学院公开指责莱布尼茨，并删除了巨著《自然哲学的数学原理》中有关莱布尼茨的部分。莱布尼茨也毫不示弱，对牛顿反唇相讥。两个科学巨匠的争论直到二人去世依然没有结果。我们今天谈到微积分公式，还称之为“牛顿-莱布尼茨公式”。
他们在自己的著作中删除对手的名字，后人却总是把他们的名字放在一块写。如果他们知道微积分公式现在的名字，又会作何感想呢？历史就是这么有趣。
三. 微积分能干啥？
为了让大家更了解微积分及其应用，我们再来计算一个面积：有一个三条边为直线，一条边为曲线的木板，并且有两个直角。我们希望求出木板的面积。
为了求出这个面积，我们首先把木板放在一个坐标系内，底边与x轴重合。左右两个边分别对应着x=a和x=b两个位置，而顶边曲线满足函数f(x)。函数就是一种对应关系：每个x对应的纵坐标高度是f(x)。
如果我们把这个图形用与y轴平行的线进行无线分割，那么每一个竖条都非常接近于一个长方形。长方形的宽是一小段横坐标△x，高接近于f(x)，所以一个竖条的面积就是f(x)△x。
怎么样？虽然微积分的计算比较复杂，但是明白其中的原理还是十分简单的，对不对？
